Wstęp

Funkcje kształtu są prostymi funkcjami (wielomiany), których dziedzina ogranicza się do pojedynczego elementu. Poza elementem na którym rozpięta jest dana funkcja jej wartości są zerowe.

Pozwala to na przybliżanie dowolnej funkci określonej na danej płaszczyźnie poprzez skończoną liczbę funkcji rozpiętych na elementach, które sumują się do naszej płaszczyzny. Dokładność takiego przybliżenia można wziększać poprzez zagęszczanie siatki (h-adaptacja) i/lub przez zwiększanie stopnia wielomianów rozpinanych na elementach (p-adaptacja).

Funkcje kształtu często będą oznaczane w notacji P_x,y, co oznaczać będzie, że iloczyn wielomianów W(x)*G(y), gdzie wielomian W jest stopnia x, a wielomian G jest stopnia y (np funkcja P_1,1 = x*y).

Dla MES 2-D możemy wyróżnić 3 podstawowe typy funkcji kształtu. Różnią się one zachowaniem na brzegu elementu na którym są one rozpięte.

wierzchołkowe funkcje kształtu
krawędziowe funkcje kształtu
powierzchniowe funkcje kształtu

Wierzchołkowe funkcje ksztatu

Jedynie funkcja P_1,1. Wartość maksymalną osiąga na jednym z wierzchołków. Na krawędziach przeciwległych do tego wierzchołka funkcja ma wartość 0.

Krawędziowe funkcje kształtu

Funkcje w postaci P_1,n (gdzie n > 1). Wartość maksymalną osiągają na w niektórych (zależnie od stopnia wielomianu) punktach na jedej z krawędzi. Na wszystkich pozostałych krawędziach funkcje te mają wartość 0. Wartości na wszystkich wierzchołkach są zerowe.

Powierzchniowe funkcje kształtu

Funkcje w postaci P_n,m (gdzie n > 1 oraz m > 1). Z punktu widzenia implementacyjnego sprawiają najmniej problemów. Są zerowe na wszystkich krawędziach elementu, dzięki czemu nie jest konieczne uzgadnianie warunków ciągłości z sąsiadującymi elementami.

Dla funkcji krawędziowych konieczne jest aby funkcja z sąsiedniego elementu oparta na tej samej krawędzi miała identyczny współczynnik. Dla funkcji wierzchołkowych konieczne jest aby wszystkie funkcje oparte na tym wierzchołku miały taki sam współczynnik. Warunki te muszą być spełnione ze względu na to, że po dodaniu wszystkich funkcji kształtu ze wszystkich elementów chcemy uzyskać funkcję ciągłą. Jednolite współczynniki tych odpowiadających sobie funkcji zapewnią nam ciągłośc na graniczach elementów.

Obiektowa reprezentacja funkcji kształtu

Do obiektowego opisu funkcji kształu został zastosowany model składający się z następujących elementów:

Funkcje kształtu (zwane też prymitywy)
Lokalne funkcje kształtu (zwane też LSF od Local Shape Function)
Globalne funkcje kształtu (zwane też GSF od Global Shape Function)

Prymitywy

Są to podstawowe obiekty opisujące kształ funkcji na kwadracie o [0,0] - [1,0] - [1,1] - [0,1]. Wartości funkcji prymitywnych znormalizowane są na przedziale [0,1]. Maksymalne uproszczenie tych elementów sprawia że łatwo jest obliczać pochodne funkcji kształtu, oraz w łatwy sposób można wyznaczyć wzory opisujące szczególne przypadki funkcji, które trzeba rozważyć.

Niestety pokrywanie przestrzeni wielomianami P_x,y nie zawsze jest możliwe:

Przypadek DEG

Przypadek ten ilustruje sytuację, w której jeden z czterech elementów został dodatkowo podzielony. W konsekwencji aby zachować ciągłość na krawędziach między 3,4; 4,5; 4,6 i 4;1 konieczne jest zdefiniowanie zupełnie nowej funkcji na elemencie 4. Funkcja ta musi mieć wartość 0 w dolnym lewym rogu, ale w przeciwieństwie do P_1,1 nie może mieć wartości zerowej na krawędziach między elementami 4,5 oraz między elementami 3,4 (patrz CutPyramid). Funkcje 3 oraz 5 są zwykłymi funkcjami P_1,1 zmniejszonymi o połowę.

Zaimplementowanie następujących prymitywów wystarczy aby móc poprawnie pokryć dowolnie podzieloną siatkę:

Piramida (Pyramid)

z = x*y

Ścięta piramida (CutPyramid)

z = (x + y) / 2

Szklarnia (Dome)

z = 4 * x * y * (1 - y)

Bąbel (Bubble)

z = 16 * x * (1 - x) * y * (1 - y)

Pokrywanie siatki prymitywami nie jest czynnością prostą. Prócz wspomnianego wcześniej przypadku pojawia się jeszcze kilka sytuacji, w których trzeba postąpić w sposób szczególny:

Przypadek 2-TAU

W przypadku tym specjalny prymityw byłby potrzebny dla elementu 1 oraz 2. Nie da się wykorzystać P_1,1.

Przypadek TAU

Ale problem ten obejmuje również funkcje wyższych rzędów. Funkcje na elementach 5 i 6 nie mogą być funkcją P_1,2.

Rozwiązaniem tego problemu jest wykorzystanie standardowych prymitywów. Nie będą one jednak rozpinane na pojednyczym elemencie a na kilku elementach. W pierwszym przypadku mamy do czynienia z odpowiednio obróconą funkcją P_1,1 rozpiętą na powierzchni obu elementów 1 i 2. W drugim przypadku możemy rozpiąć funkcję P_1,2na połączonej powierzchni elementów 5 i 6.

Obiekty reprezentujące prymitywy obsługują dodatkowo obroty i skalowanie, dzięki czemu możliwa jest realizacja wszystkich wymaganych sytuacji.

Globalna funkcja kształtu

Jest tworem bardzo abstrakcyjnym. Właściwie GSF nie udostępnia możliwości obliczenia swojej wartości. Funkcje zaczepiione w tym samym wierzchołku lub na tej samej krawędzie mają wspólne globalne funkcje kształtu. Wynika to z waunku na ciągłość funkcji będącej sumą funkcji wszystkich elementów. Klasa opisująca GSF udostępnia możliość ustawienia i pobrania tego współczynnika.

Lokalne funkcje kształtu

Prymitywy nie miały świadomości swojego rozmieszczenia na siatce. Lokalna funkcja kształtu jest rozwiniętą wersją prymitywu. Posiada referencje do prostokątnego obszaru na którym jest rozpięta (przypadki TAU i 2-TAU pokazują, że obszarem tym nie zawsze będzie obszar elementu), dzięki temu prymityw zamienia się w znormalizowaną funkcję położoną na dowolnym prostokącie należącym do płaszczyzny. Lokalna funkcja kształtu ma również referencje do dokładnie jednej globalnej funkcji kształtu, dzięki której zna swój współczynnik. LSF udostępnia interfejs do obliczenia wartości (oraz wartości pochodnych cząstkowych) w punkcie należącym do jej obszaru.

Współpraca z elementami

Element przechowuje referencje do wszystkich funkcji kształtu rozpiętych na obszarach zawierających obszar danego elementu. Gdy element zostanie poproszony o obliczenie wartości w punkcie należącym do niego oblicza on sumę wszystkich rozpiętych nad nim lokalnych funkcji kształtu.

// TODO: diagram sekwencji obliczania wartości funkcji na elemencie

Główna struktura klas funkcji kształtu

Diagram prymitywów funkcji kształtu

Klasy odpowiedzialne za pokrycie siatki funkcjami kształtu